Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính nhanh đường cao trong tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) để tính chiều cao khối chóp.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài \(AC\).

- Tính diện tích tam giác \(ABC\): \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\).

- Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Bh\) trong đó \(B,\,h\) lần lượt là diện tích đáy và chiều cao khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\): \(AC = AB.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}\).

Chọn D.