Phương pháp giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\).

Lời giải chi tiết:

\({x^2} + {y^2} + 2mx - 4\left( {m + 1} \right)y + 4{m^2} + 5m + 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Có \(a =  - m,\,\,b = 2\left( {m + 1} \right),\) \(c = 4{m^2} + 5m + 2\)

(1) là phương trình đường tròn \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} + 4{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {4{m^2} + 5m + 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 4{m^2} - 5m - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} - 5m - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >  - 1\\m <  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C.