Phương pháp giải:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

B1: Tính \(y'\), gpt \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\) và các điểm \({x_j} \in \left[ {a;b} \right]\) làm \(y'\) không xác định (nếu có)

B2: Tính \(f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( a \right);f\left( b \right)\)

B3: Ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right)} \right\}\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right)} \right\}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\); \(\left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right] \subset D\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0\) \( \Rightarrow {x^2} - 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\\x = 2 \notin \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\end{array} \right.\)

Ta có \(y\left( { - 1} \right) =  - \dfrac{7}{2};\) \(y\left( 0 \right) =  - 3;\) \(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) =  - \dfrac{7}{2}\)

Vậy \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]} y =  - 3\)\( \Leftrightarrow x = 0\)  và \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]} y =  - \dfrac{7}{2}\) khi \(x =  - 1\) hoặc \(x = \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(M.m = \dfrac{{21}}{2}\)

Chọn D.