Câu hỏi

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình thang vuông tại AADD, AB=3aAB=3a, AD=DC=aAD=DC=a. Gọi II là trung điểm của ADAD, biết hai mặt phẳng (SBI)(SBI)(SCI)(SCI) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC)(SBC) tạo với đáy một góc 600600. Gọi MM điểm trên ABAB sao cho AM=2aAM=2a, tính khoảng cách giữa MDMDSCSC.

  • A a175a175
  • B a1510a1510
  • C a619a619
  • D a315a315

Phương pháp giải:

- Trong (ABCD)(ABCD) kéo dài ADAD cắt BCBC tại EE. Sử dụng định lí Ta-lét đảo chứng minh MDBEMDBE.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.

- Đổi về tính khoảng cách từ II đến (SBE)(SBE).

- Trong (SBE)(SBE) kẻ IHBE(HBE)IHBE(HBE), trong (SIH)(SIH) kẻ IKSH(KSH)IKSH(KSH), chứng minh IK(SBE)IK(SBE).

- Xác định góc giữa (SBC)(SBC)(ABCD)(ABCD) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Trong (ABCD)(ABCD) kéo dài ADAD cắt BCBC tại EE, áp dụng định lí Ta-lét ta có: EDEA=CDAB=a3a=BMBAEDEA=CDAB=a3a=BMBA.

MDBEMDBE (định lí Ta-lét đảo) MD(SBE)SCMD(SBE)SC d(MD;SC)=d(MD;(SBE))=d(D;(SBE))d(MD;SC)=d(MD;(SBE))=d(D;(SBE)).

Ta có: {(SBI)(SCI)=SI(SBI)(ABCD)(SCI)(ABCD)SI(ABCD).

Lại có DI(SBE)=E d(D;(SBE))d(I;(SBE))=DEIE.

Ta có: EDEA=CDAB=13EDDA=12 ED=12AD=a2, IE=ED+DI=a2+a2=a.

DEIE=12d(D;(SBE))=12d(I;(SBE)).

Trong (SBE) kẻ IHBE(HBE), trong (SIH) kẻ IKSH(KSH) ta có:

{BEIHBESIBE(SIH)BEIK{IKBEIKSHIK(SBE)d(I;(SBE))=IK

Ta có: BE(SIH)BESH.

{(SBE)(ABCD)=BESH(SBE),SHBEIH(ABCD),IHBE ((SBC);(ABCD))=((SBE);(ABCD))=(SH;IH)=SHI=600.

Ta có:

{SABCD=AD.(AB+CD)2=a.(3a+a)2=2a2SCDI=12CD.CI=12.a.a2=a24SABI=12AB.AI=12.3a.a2=3a24SIBC=SABCDSCDISABI=2a2a243a24=a2

BC=(ABCD)2+AD2=4a2+a2=a5.

Mặt khác ta lại có SIBC=12IH.BC IH=2SIBCBC=2a2a5=2a5.

Xét tam giác vuông IHK có: IK=IH.sin600=2a5.32=a155.

Vậy d(MD;SC)=12IK=a1510.

Chọn B.


Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay