Câu hỏi
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,\)\(AB = a\sqrt 5 .\) Góc giữa đường thẳng \(A'B\)và mặt đáy là \(60^\circ .\) Thể tích lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)là:
- A \(15{a^3}\sqrt 5 .\)
- B \(5{a^3}\sqrt 3 .\)
- C \(\dfrac{{5{a^3}\sqrt {15} }}{2}.\)
- D \(15{a^3}\sqrt 3 .\)
Phương pháp giải:
- Góc giữa đường và mặt là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng kia.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối lăng trụ.
- Khối lăng trụ có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) có thể tích \(V = Bh\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(BB' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow A'B'\) là hình chiếu của \(A'B\) lên \(\left( {A'B'C'} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;A'B'} \right) = \angle BA'B' = {60^0}\).
Xét \({\Delta _v}A'BB'\) có: \(BB' = A'B'.\tan {60^0} = a\sqrt 5 .\sqrt 3 = a\sqrt {15} \).
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}A{B^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a\sqrt {15} .\dfrac{{5{a^2}}}{2} = \dfrac{{5\sqrt {15} {a^3}}}{2}\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
