Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

\( \Rightarrow x = 3\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = 2\) \( \Rightarrow y = 2\) là TCN của đồ thị hàm số.

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Chọn A.