Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y = \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }}\) ta có:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;\,\, - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }} =  + \infty \) \( \Rightarrow x = \sqrt 3 \) là TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \sqrt 3 } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }} =  - \infty \) \( \Rightarrow x =  - \sqrt 3 \) là TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{3}{{{x^2}}}} }} =  - 2\) \( \Rightarrow y =  - 2\) là TCN của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{  \sqrt {1 - \frac{3}{{{x^2}}}} }} =   2\) \( \Rightarrow y =   2\) là TCN của đồ thị hàm số.

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

Chọn A.