Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^3}} \right)\) cho hai hạng tử đầu để rút nhân tử chung \(c - a\).

Sau đó thu gọn biểu thức, nhóm thích hợp tạo nhân tử \(a - b;\,\,b - c\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^3} + {\left( {b - c} \right)^3} + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {a - b + b - c} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} - \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right) + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {a - c} \right)\left( {{a^2} - 2ab + {b^2} - ab + ac + {b^2} - bc + {b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {a - c} \right)\left( {{a^2} - 3ab + ac - 3bc + 3{b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {c - a} \right)\left( { - {a^2} - 3{b^2} - {c^2} + 3ab - ac + 3bc} \right) + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {c - a} \right)\left[ { - {a^2} - 3{b^2} - {c^2} + 3ab - ac + 3bc + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]\\ = \left( {c - a} \right)\left( { - {a^2} - 3{b^2} - {c^2} + 3ab - ac + 3bc + {c^2} - 2ac + {a^2}} \right)\\ = \left( {c - a} \right)\left( { - 3{b^2} + 3ab + 3bc - 3ac} \right)\\ = 3\left( {c - a} \right)\left[ {b\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)} \right]\\ = 3\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right).\end{array}\)

Chọn A.