Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính thể tích khối nón và khối cầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {2;1;3} \right);R = 5\)

\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{500\pi }}{3}\)

Mặt phẳng\(\left( P \right):2x + y - 2z + 10 = 0 \Rightarrow {d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = 3\)

Khi đó bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(r = \sqrt {{R^2} - d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}^2}  = 4\)

Đường thẳng d đi qua tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) là điểm\(I\left( {2;1;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên vecto chỉ phương là \(\left( {2;1; - 2} \right)\)

Có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\)

Giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu là

\({\left( {2 + 2t - 2} \right)^2} + {\left( {1 + t - 1} \right)^2} + {\left( {3 - 2t - 3} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow t =  \pm \dfrac{5}{3}\)

Nên giao điểm là \(A\left( {\dfrac{{16}}{3};\dfrac{8}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\) hoặc \(B\left( { - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

Khi đó \({d_{\left( {A;\left( P \right)} \right)}} = 8;{d_{\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{22}}{9}\)

Mà khối nón \(\left( N \right)\) có đường cao lớn hơn bán kính khối cầu nên \(h = {d_{\left( {A;\left( P \right)} \right)}} = 8\)

Khi đó thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là \({V_2} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.4^2}.8 = \dfrac{{128\pi }}{3}\)

Khi đó \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{125}}{{32}}\)

Chọn D.