Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa đường thẳng \(B'D\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(B'D\) và hình chiếu của \(B'D\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Pytago trong tam giác vuông để tính chiều cao và diện tích đáy của khối lăng trụ.

- Tính thể tích: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'A.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Vì BD là hình chiếu của B’D lên (ABCD) nên \(\angle \left( {B'D;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {B'D;BD} \right) = \angle B'DB = {30^0}\).

Xét tam giác vuông BDB’ có: \(BD = B'B.\cot {30^0} = 2a\sqrt 3 \).

Vì ABCD là hình thoi cạnh 2a có \(BD = 2a\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AC = 2AO = 2\sqrt {A{B^2} - B{O^2}}  = 2\sqrt {4{a^2} - 3{a^2}}  = 2a\\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{1}{2}.2a.2a\sqrt 3  = 2{a^2}\sqrt 3 \end{array}\)

Vậy \(V = AA'.{S_{ABCD}} = 2a.2{a^2}\sqrt 3  = 4{a^3}\sqrt 3 \).

Chọn B.