Phương pháp giải:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\),\(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x\ln x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\)

Khi đó ta có: \(V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{\ln ^2}x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{2}{x}\ln xdx\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x} \right|_1^2 - \dfrac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} } \right]\)

Đặt \(I = \dfrac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \dfrac{2}{3}\left[ {\left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2}}}{3}dx} } \right] = \dfrac{2}{3}\left. {\left[ {\dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x - \dfrac{{{x^3}}}{9}} \right]} \right|_1^2\)

Khi đó \(V = \pi \left[ {\left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x - \dfrac{2}{9}{x^3}\ln x + \dfrac{{2{x^3}}}{{27}}} \right|_1^2} \right] = \dfrac{\pi }{{27}}\left( {5{e^3} - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 27\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow T = a - {b^2} = 2\)

Chọn A.