Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {\ln x + 3} \).

- Tính tích phân sau khi đổi biến, đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {\ln x + 3} }}{x}dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {\ln x + 3}  \Rightarrow {t^2} = \ln x + 3 \Rightarrow 2tdt = \dfrac{{dx}}{x}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 3 \\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = 2\int\limits_{\sqrt 3 }^2 {{t^2}dt}  = \left. {\dfrac{{2{t^3}}}{3}} \right|_{\sqrt 3 }^2 = \dfrac{{16}}{3} - 2\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow a = 16,\,\,b =  - 2.\)

Vậy \(\dfrac{1}{{{2^b}}} + {\log _2}a = \dfrac{1}{{{2^{ - 2}}}} + {\log _2}16 = 4 + 4 = 8.\)

Chọn C.