Phương pháp giải:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa đường này và mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh, đổi về khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBC} \right)\).

- Xác định khoảng cách và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN\parallel BC \Rightarrow MN\parallel \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {MN;SB} \right) = d\left( {MN;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}AM \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MB}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\end{array}\)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(BC \bot AK\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AK\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAK} \right)\).

Trong \(\left( {SAK} \right)\) kẻ \(AH \bot SK\,\,\left( {H \in SK} \right)\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SK\\AH \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(BC \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow BC \bot SK\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SK \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AK \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SK;AK} \right) = \angle SKA = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(SAK\) có: \(SA = AK.tan{60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = \dfrac{{3a}}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAK\) ta có:

\(AH = \dfrac{{SA.AK}}{{\sqrt {S{A^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{3a}}{4}\).

Vậy \(d\left( {MN;SB} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{3a}}{8}\).

Chọn A.