Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa đường thẳng \(A'B\) và \(\left( {A'ACC'} \right)\) là góc giữa \(A'B\) và hình chiếu của \(A'B\) lên \(\left( {A'ACC'} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Pytago trong tam giác vuông để tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Tính thể tích: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'A.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BO \bot AC\\BO \bot AA'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BO \bot \left( {A'ACC'} \right)\).

Do đó \(A'O\) là hình chiếu của \(A'B\) lên \(\left( {A'ACC'} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {A'ACC'} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;A'O} \right) = \angle BA'O = {30^0}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(BD = a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(A'BO\) có: \(A'B = \dfrac{{BO}}{{\sin \angle BA'O}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{1}{2} = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác \(A'AB\) có: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}}  = a\).

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'A.{S_{ABCD}} = a.{a^2} = {a^3}\).

Chọn A.