Câu hỏi
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + an - 3} - \sqrt {{n^2} + n} \), trong đó \(a\) là tham số thực. Tìm \(a\) để \(\lim {u_n} = 3\).
- A \(7\)
- B \(6\)
- C \(4\)
- D \(5\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp nhân liên hợp. Sau đó chia cả tử và mẫu cho \(n\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + an - 3} - \sqrt {{n^2} + n} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \lim \dfrac{{{n^2} + an - 3 - {n^2} - n}}{{\sqrt {{n^2} + an - 3} + \sqrt {{n^2} + n} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \lim \dfrac{{\left( {a - 1} \right)n - 3}}{{\sqrt {{n^2} + an - 3} + \sqrt {{n^2} + n} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \lim \dfrac{{\left( {a - 1} \right) - \dfrac{3}{n}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{a}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{1}{n}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{a - 1}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{a - 1}}{2} = 3 \Leftrightarrow a - 1 = 6 \Leftrightarrow a = 7\end{array}\).
Chọn A.