Phương pháp giải:

- Xác định \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\), trục hoành, đường thẳng \(x = \dfrac{1}{2},\,\,x = k\),\({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\), trục hoành, đường thẳng \(x = k,\,\,x = 2\).

- Sử dụng công thức: Diện tích hình phẳng phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

- Sử dụng giả thiết \({S_1} = 3{S_2}\) giải phương trình tìm \(k\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+ \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\), trục hoành, đường thẳng \(x = \dfrac{1}{2},\,\,x = k\), do đó \({S_1} = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^k {\left| {\dfrac{1}{x}} \right|dx}  = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^k {\dfrac{1}{x}dx}  = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_{\dfrac{1}{2}}^k = \ln k - \ln \dfrac{1}{2}\).

+ \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\), trục hoành, đường thẳng \(x = k,\,\,x = 2\), do đó \({S_1} = \int\limits_k^2 {\left| {\dfrac{1}{x}} \right|dx}  = \int\limits_k^2 {\dfrac{1}{x}dx}  = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_k^2 = \ln 2 - \ln k\).

Theo bài ra ta có: \({S_1} = 3{S_2} \Leftrightarrow \ln k - \ln \dfrac{1}{2} = 3\left( {\ln 2 - \ln k} \right)\).

\( \Leftrightarrow \ln k + \ln 2 = 3\ln 2 - 3\ln k\) \( \Leftrightarrow 4\ln k = 2\ln 2 \Leftrightarrow lnk = \dfrac{1}{2}\ln 2 = \ln \sqrt 2 \) \( \Rightarrow k = \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\).

Chọn A.