Phương pháp giải:

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(AA'\).

- Sử dụng các công thức tính nhanh:

   + Đường cao trong tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

   + Diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

- Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'{S_{\Delta ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AM \bot BC\) và \(AM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AMA'} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot A'M\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {A'BC} \right) \supset A'M \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'M;AM} \right) = \angle A'MA = {60^0}\).

Ta có \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AA' \bot AM\) \( \Rightarrow \Delta AMA'\) vuông tại \(A\).

\( \Rightarrow AA' = AM.\tan \angle A'MA = a\sqrt 3 .\tan {60^0} = 3a\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'{S_{\Delta ABC}}\) \( = 3a.{a^2}\sqrt 3  = 3{a^3}\sqrt 3 \).

Chọn A.