Phương pháp giải:

- Viết phương trình mặt chắn của \(\left( P \right)\).

- Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) được phương trình thứ nhất.

- Sử dụng giả thiết \(OA = 2OB\) được phương trình thứ hai.

- Sử dụng công thức tính thể tích \({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}OA.OB.OC\).

- Áp dụng BĐT Cô-si: \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \ge 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) có dạng \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) nên \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1\).

Mặt khác \(OA = 2OB\) nên \(a = 2b\) nên \(\dfrac{3}{{2b}} + \dfrac{1}{c} = 1\).

Thể tích khối tứ diện \(OABC\) là \(V = \dfrac{1}{6}abc = \dfrac{1}{3}{b^2}c\).

Ta có \(\dfrac{3}{{2b}} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{3}{{4b}} + \dfrac{3}{{4b}} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{9}{{16{b^2}c}}}}\)\( \Rightarrow \sqrt[3]{{\dfrac{9}{{16{b^2}c}}}} \le \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow \dfrac{{16{b^2}c}}{9} \ge 27\)\( \Rightarrow V = \dfrac{{{b^2}c}}{3} \ge \dfrac{{81}}{{16}}\).

\( \Rightarrow \)\(\min V = \dfrac{{81}}{{16}}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{4b}} = \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{3}\\a = 2b\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{9}{2}\\b = \dfrac{9}{4}\\c = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(S = 2a + b + 3c = \dfrac{{81}}{4}.\)

Chọn D.