Câu hỏi
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\) (với \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\)) đi qua hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\), \(B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\). Tính tổng \(S = a + b + c\).
- A
\(S = - 12\)
- B \(S = 5\)
- C \(S = - 4\)
- D \(S = - 2\)
Phương pháp giải:
- Tìm 1 VTPT của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\).
- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
- Xác định \(a,\,\,b,\,\,c\), sau đó tính \(S\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)\),\(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;1;1} \right)\).
Do mặt phẳng\(\left( P \right)\) qua \(A\), \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\)nên \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\)\( = \left( {2;9; - 15} \right)\).
Suy ra phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\) là: \(2\left( {x - 3} \right) + 9\left( {y - 2} \right) - 15\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 9y - 15z - 9 = 0\).
\( \Rightarrow a = 2,\,\,b = 9,\,\,c = - 15\).
Vậy \(S = a + b + c\)\( = 2 + 9 - 15\)\( = - 4\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
