Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

- Dựa vào các đáp án để kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {1 + x\ln x} \right) {\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_1^{\rm{e}} {{\rm{1}}{\rm{.d}}x}  + \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x {\rm{d}}x} \)\( = {\rm{e}} - 1 + \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x {\rm{d}}x} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x \Rightarrow {\rm{d}}u = \dfrac{1}{x}{\rm{d}}x\\{\rm{d}}v = x.{\rm{d}}x \Rightarrow v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x {\rm{d}}x}  = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^e - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^{\rm{e}} {x\,{\rm{d}}x} \\ = \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \left. {\dfrac{1}{4}{x^2}} \right|_1^e = \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + \dfrac{1}{4}.\end{array}\)

Suy ra \(\int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {1 + x\ln x} \right) {\rm{d}}x}  = {\rm{e}} - 1 + \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + {\rm{e}} - \dfrac{3}{4}\)nên \(a = \dfrac{1}{4}\), \(b = 1\), \(c =  - \dfrac{3}{4}\).

Vậy \(a - b = c\).

Chọn C.