Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1.\)

- Nhận xét dấu của biểu thức, phá căn.

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {\cos xdx}  = \sin x + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(I = \int\limits_0^\pi  {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx = \int\limits_0^\pi  {\sqrt {2{{\cos }^2}x} dx}  = \int\limits_0^\pi  {\sqrt 2 } \left| {\cos x} \right|dx\)

Xét trên \(\left[ {0;\pi } \right]\) ta có: \(\cos x \ge 0 \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| = \cos x\).

Vậy \(I = \int\limits_0^\pi  {\sqrt 2 } \cos xdx = \sqrt 2 \left. {\sin x} \right|_0^\pi  = 0\).

Chọn A.