Phương pháp giải:

- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

- Thay vào giả thiết, đưa phương trình về dạng hai số phức bằng nhau.

- Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau.

- Giải hệ phương trình tìm \(x,\,\,y\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\). Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,z + 2\overline z  = {\left( {1 + 5i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x + yi + 2\left( {x - yi} \right) =  - 24 + 10i\\ \Leftrightarrow 3x - yi =  - 24 + 10\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x =  - 24\\ - y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 8\\y =  - 10\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(z =  - 8 - 10i\) có phần ảo bằng \( - 10\).

Chọn C.