Phương pháp giải:

- Biến đổi \(f\left( x \right)\), sử dụng công thức \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab\).

- Tính đạo hàm hàm số \(f\left( x \right)\) sau khi biến đổi, sử dụng công thức \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u',\,\,\left( {\sin u} \right)' = u'\cos u\).

- Tính đạo hàm hàm số \(g\left( x \right)\), sử dụng công thức \(\left( {\cos u} \right)' =  - u'\sin u\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\f\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\\ \Rightarrow f'\left( x \right) =  - \dfrac{1}{2}.2\sin 2x\left( {\sin 2x} \right)'\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) =  - 2\sin 2x\cos 2x\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) =  - \sin 4x\\g\left( x \right) = \dfrac{1}{4}\cos 4x\\ \Rightarrow g'\left( x \right) =  - \dfrac{1}{4}.4\sin 4x =  - \sin 4x\end{array}\)

Vậy \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).