Lời giải chi tiết:

Giả sử mặt cầu tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại \(B\), khi đó \(I\) là giao điểm của đường thẳng qua \(B\) vuông góc với \(\left( P \right)\) và trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có: \(R = IB \ge HB = \dfrac{1}{2}AB \ge \dfrac{1}{2}AA'\).

Khi đó \({R_{\min }} = \dfrac{1}{2}AA' \Leftrightarrow B \equiv A'\).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\), khi đó phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{1}\).

Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right)\), khi đó \(A' = d \cap \left( P \right)\) \( \Rightarrow A'\left( { - 3;0;1} \right)\).

Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn đi qua \(A\), tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi nhận \(AA'\) là đường kính, khi đó \(I\) là trung điểm của \(AA'\) và \(I\left( { - 1;1;2} \right)\).

\( \Rightarrow a =  - 1,\,\,b = 1,\,\,c = 2 \Rightarrow a + b + c = 2\).

Chọn A.