Phương pháp giải:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song với đường thẳng này và chứa đường thẳng kia.

- Đổi về khoảng cách từ đỉnh A.

- Chứng minh $BC \bot \left( {SAC} \right)$, từ đó dựng khoảng cách từ $A$ đến $\left( {SBC} \right).$

- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Vì $\left\{ \begin{array}{l}CD = BM = a\\CD\parallel BM\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right)$ nên $BCDM$ là hình bình hành (dhnb).

$\Rightarrow DM\parallel BC$ (2 cạnh đối của hình bình hành).

Mà $BC \subset \left( {SCD} \right)$ $\Rightarrow DM\parallel \left( {SBC} \right) \supset SB$.

$\Rightarrow d\left( {SB;DM} \right) = d\left( {DM;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)$.

Ta có: $AM \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MB}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}$.

$\Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)$.

Chứng minh tương tự ta có: $ADCM$ là hình bình hành .

Khi đó ta có $CM = \dfrac{1}{2}AB\,\,\left( { = a} \right)$, do đó $\Delta ACB$ vuông tại $C$ (định lí đường trung tuyến trong tam giác).

$\Rightarrow AC \bot BC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)$.

Trong $SAC$ kẻ $AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\,\,\,\left( {BC \bot \left( {SAC} \right)} \right)\\AH \bot SC\end{array} \right.$ $\Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)$ $\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH$ $\Rightarrow d\left( {DM;SB} \right) = \dfrac{1}{2}AH$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ACD$ ta có:

$AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAC\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{9{a^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}} = \dfrac{4}{{9{a^2}}}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{3a}}{2}\end{array}$ 

Vậy $d\left( {DM;SB} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{3a}}{4}$.

Chọn A.