Phương pháp giải:

- Xác định mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(A\) và vuông góc với \(\left( {SBD} \right)\).

- Trong mặt phẳng đó kẻ đoạn thẳng vuông góc với giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

- Chứng minh đoạn thẳng vừa kẻ là khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBD} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) tại \(O\).

Trong \(\left( {SAO} \right)\) kẻ \(AH \bot SO\,\,\left( {H \in SO} \right)\) ta có:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AH\)

Mà \(SO \bot AH \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH.\)

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(A\)  (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)), đường cao \(AH\), có:

\(\begin{array}{l}SA = a,\,\,AO = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{O^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{2}{{{a^2}}}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn A.