Câu hỏi
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn bằng:
- A \(\dfrac{{41}}{{81}}\)
- B \(\dfrac{4}{9}\)
- C \(\dfrac{1}{2}\)
- D \(\dfrac{{16}}{{81}}\)
Phương pháp giải:
- Đường thẳng đi qua \(M,\,\,N\) nhận \(\overrightarrow {MN} \) là 1 VTCP.
- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {MN} \) đều là VTCP của đường thẳng \(d\).
Lời giải chi tiết:
Gọi số có 3 chữ số là \(\overline {abc} \,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N},\,\,0 \le a,\,b,\,\,c \le 9,\,\,a \ne 0} \right)\) \(\left( {a \ne b \ne c} \right)\).
Số cách chọn \(a\) là 9 cách \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Số cách chọn \(b\) là 9 cách.
Số cách chọn \(c\) là 8 cách.
\( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 9.9.8 = 648\).
Gọi A là biến cố: “Số được chọn có tổng các chữ số là chẵn”.
\( \Rightarrow a + b + c\) là số chẵn, khi đó ta có các trường hợp sau:
TH1: \(a,\,\,b,\,\,c\) đều là các số chẵn.
Chọn \(a\) có 4 cách chọn \(\left( {a \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}} \right)\).
Chọn \(b\) có 4 cách chọn \(\left( {b \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\},\,\,b \ne a} \right)\),
Chọn \(c\) có 3 cách chọn \(\left( {c \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\},\,\,c \ne a,\,\,c \ne b} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có \(4.4.3 = 48\) số.
TH2: \(a\) chẵn, \(b,\,\,c\) lẻ.
Chọn \(a\) có 4 cách chọn \(\left( {a \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}} \right)\).
Chọn \(b\) có 5 cách chọn \(\left( {b \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}} \right)\),
Chọn \(c\) có 4 cách chọn \(\left( {c \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\},\,\,c \ne b} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có \(4.5.4 = 80\) số.
TH3: \(b\) chẵn, \(a,\,\,c\) lẻ.
Chọn \(a\) có 5 cách chọn \(\left( {a \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}} \right)\).
Chọn \(b\) có 5 cách chọn \(\left( {b \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}} \right)\),
Chọn \(c\) có 4 cách chọn \(\left( {c \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\},\,\,c \ne a} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có \(5.5.4 = 100\) số.
TH4: \(c\) chẵn, \(a,\,\,b\) lẻ.
Chọn \(a\) có 5 cách chọn \(\left( {a \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}} \right)\).
Chọn \(b\) có 4 cách chọn \(\left( {b \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\},\,\,b \ne a} \right)\),
Chọn \(c\) có 5 cách chọn \(\left( {c \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có \(5.5.4 = 100\) số.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 48 + 80 + 100 + 100 = 328\).
Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{328}}{{648}} = \dfrac{{41}}{{81}}\).
Chọn A.