Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Sử dụng khái niệm đường tiệm cận của hàm số

  + Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\).

  + Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \) , \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \({x^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  \pm 1 \Rightarrow \) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).

Ta có: \(y = \dfrac{{5{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{5x + 1}}{{x + 1}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 5 \Rightarrow y = 5\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  + \infty \) \( \Rightarrow x =  - 1\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là 2.

Chọn C.