Phương pháp giải:

Để tìm GTNN, GTLN của hàm số \(f\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), ta làm như sau:

- Tìm các điểm \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số \(f\) có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

- Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);\,\,f\left( a \right);\,f\left( b \right)\)

- So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\); số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\) liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\), có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1,\)\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right..\)

Có \(f\left( 0 \right) = 1,\,\,f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{31}}{{27}},\,\,f\left( 1 \right) = 1,\,\,f\left( 2 \right) = 3\).

\( \Rightarrow \) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) lần lượt là \(M = 3\) và \(m = 1\).

Vậy \(M + m = 3 + 1 = 4.\)

Chọn C.