Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình để xác định tọa độ giao điểm của \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( C \right)\) (Thay \(x,\,y\) vào  phương trình \(\left( C \right)\) để tìm \(t\))

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1\\x = 1 + t\\y = 2 + 2t\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {1 + t} \right)^2} + 4{\left( {2 + 2t} \right)^2} - 2\left( {1 + t} \right) - 2\left( {2 + 2t} \right) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 4t = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - \frac{4}{5}\end{array} \right.\)

Với \(t = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm \(\left( {1;\,\,2} \right)\).

Với \(t =  - \frac{4}{5} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm là \(\left( {\frac{1}{5};\,\,\frac{2}{5}} \right)\).

Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) là \(\left( {1;\,\,2} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{5};\,\,\frac{2}{5}} \right)\).

Chọn  C