Phương pháp giải:

+ Viết phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B\).

+ Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với \(\left( C \right)\).

Lời giải chi tiết:

*) Viết phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B\).

\(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm qua}\nolimits} \,A\left( {1;\,\,2} \right)\\{{\vec n}_d} = \left( {1;\, - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow 1.\left( {x - 1} \right) - 2.\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 1 - 2y + 4 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)

\( \Rightarrow \left( d \right):\,\,x - 2y + 3 = 0\)

*) Tọa độ giao điểm của đường tròn \(\left( C \right):x{}^2 + {y^2} - 2x - 4y = 0\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,x - 2y + 3 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\\x - 2y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\\x = 2y - 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {2y - 3} \right)^2} + {y^2} - 2\left( {2y - 3} \right) - 4y = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{y^2} - 12y + 9 + {y^2} - 4y + 6 - 4y = 0\)

\( \Leftrightarrow 5{y^2} - 20y + 15 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3 \Rightarrow x = 3\\y = 1 \Rightarrow x =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(\left( {3;\,\,3} \right)\); \(\left( { - 1;\,\,1} \right)\).

Chọn  D