Phương pháp giải:

Cách 1: Xác định tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\). Từ đó, xác định được số giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\).

Cách 2: So sánh khoảng cách từ \(I\) đến đường thẳng \(d\) với bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\).

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,3x - y - 10 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\\3x - y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\\y = 3x - 10\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x^2} + {\left( {3x - 10} \right)^2} - 4x - 2\left( {3x - 10} \right) - 20 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 9{x^2} - 60x + 100 - 4x - 6x + 20 - 20 = 0\)

\( \Leftrightarrow 10{x^2} - 70x + 100 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y =  - 4\\x = 5 \Rightarrow y = 5\end{array} \right.\)

Vậy đường thẳng \(d:\,\,3x - y - 10 = 0\) cắt đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\) tại hai điểm phân biệt.

Vậy số giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,3x - y - 10 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\) là: \(2\)

Chọn B