Phương pháp giải:

+ \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) tiếp xúc với \(\left( d \right)\) tại \(H\) nên \(IH \bot d\).

+ Viết phương trình đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \(d\)

+ \(H = IH \cap \left( C \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(d:\,\,3x - 4y + 5 = 0 \Rightarrow {\vec n_d} = \left( {3;\, - 4} \right),\,\,{\vec u_d} = \left( {4;\,\,3} \right)\)

Do đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) tiếp xúc nhau tại điểm \(H\) nên \(IH \bot d.\)

Phương trình đường thẳng qua \(I\left( { - 1;\,\,3} \right)\) nhận \({\vec u_d} = \left( {4;\,\,3} \right)\) làm VTPT là:

\(4.\left( {x + 1} \right) + 3.\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 4 + 3y - 9 = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 5 = 0\)

Tọa độ giao điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y + 5 = 0\\4x + 3y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 4y =  - 5\\4x + 3y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{1}{5};\,\,\frac{7}{5}} \right)\)

Vậy \(H\left( {\frac{1}{5};\,\,\frac{7}{5}} \right)\).

Chọn  B