Phương pháp giải:

 Xác định tâm \(I\)và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\).

+) Nếu \(I \in \left( \Delta  \right)\) thì độ dài dây cung bằng đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\).

+) Nếu \(I \notin \left( \Delta  \right)\) thì xác định tọa độ giao điểm của \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( C \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;\,\,1} \right)\\R = \sqrt {{1^2} + {1^2} - 1}  = 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(d\left( {I,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{0}{{\sqrt 2 }} = 0\)

\( \Rightarrow \)\(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(\Delta \) theo một dây cung đi qua tâm \(I\) có độ dài bằng đường kính.

Đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(2.\)

Chọn  B