Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {1 + 3\ln x}  \Rightarrow {t^2} = 1 + 3\ln x.\)

\( \Rightarrow 2tdt = \frac{{3dx}}{x} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{2}{3}tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right..\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx}  = \int\limits_1^e {\sqrt {1 + 3\ln x} .\frac{{dx}}{x}} \\I = \int\limits_1^2 {t.\frac{2}{3}tdt}  = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt}  = \left. {\frac{2}{3}.\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \left. {\frac{2}{9}{t^3}} \right|_1^2\\\,\,\,\, = \frac{2}{9}\left( {8 - 1} \right) = \frac{{14}}{9}.\end{array}\)

Do đó các đáp án B, D đúng.

Lại có \(\left. {\left( {\frac{2}{9}{t^3} + 2} \right)} \right|_1^2 = \left( {\frac{2}{9}.8 + 2} \right) - \left( {\frac{2}{9}.1 + 2} \right) = \frac{{14}}{9} = I\) nên đáp án C đúng.

Vậy A sai.

Chọn A.