Câu hỏi
Biến đổi \(\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx} \) thành \(\int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt} \) với \(t = \ln x + 2\). Khi đó \(f\left( t \right)\) là hàm nào trong các hàm số sau?
- A \(f\left( t \right) = \frac{2}{{{t^2}}} - \frac{1}{t}\)
- B \(f\left( t \right) = - \frac{1}{{{t^2}}} + \frac{2}{t}\)
- C \(f\left( t \right) = \frac{2}{{{t^2}}} + \frac{1}{t}\)
- D \(f\left( t \right) = - \frac{2}{{{t^2}}} + \frac{1}{t}\)
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = e \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = \int\limits_2^3 {\frac{{t - 2}}{{{t^2}}}dt} = \int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt} \)\( \Rightarrow f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{{t^2}}} = \frac{1}{t} - \frac{2}{{{t^2}}}.\)
Chọn D.
Câu hỏi trước
