Câu hỏi
Cho tích phân \(I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} \). Nếu đổi biến số \(t = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\) thì:
- A \(I = - \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt} \)
- B \(I = \int\limits_2^3 {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}dt} \)
- C \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt} \)
- D \(I = \int\limits_2^3 {\dfrac{t}{{{t^2} + 1}}dt} \)
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} \Leftrightarrow {t^2} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
\( \Rightarrow 2tdt = - \dfrac{2}{{{x^3}}}dx \Rightarrow tdt = - \dfrac{{dx}}{{{x^3}}} = - \dfrac{{dx}}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}\)
Và \({t^2}{x^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2}\left( {{t^2} - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{1}{{{t^2} - 1}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{dx}}{x} = - \dfrac{t}{{{t^2} - 1}}dt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \Rightarrow t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = - \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt} .\)
Chọn A.
Câu hỏi trước
