Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).

   + Hình chiếu của \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) lên trục \(Ox\) là \(A\left( {{x_0};0;0} \right)\).

   + Hình chiếu của \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) lên trục \(Oy\) là \(B\left( {0;{y_0};0} \right)\).

   + Hình chiếu của \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) lên trục \(Oz\) là \(C\left( {0;0;{x_0}} \right)\).

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A,\,\,B,\,\,C\) dạng mặt chắn: Mặt phẳng đi qua các điểm \(A\left( {{x_0};0;0} \right)\), \(B\left( {0;{y_0};0} \right)\), \(C\left( {0;0;{x_0}} \right)\) có phương trình \(\dfrac{x}{{{x_0}}} + \dfrac{y}{{{y_0}}} + \dfrac{z}{{{z_0}}} = 1\).

- Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): Hai mặt phẳng song song khi VTPT của chúng là các vectơ cùng phương.

Lời giải chi tiết:

\(M\left( { - 3;\,\,2;\,\,4} \right)\). Theo giả thiết, \(A,\,\,B,\,\,C\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên trục \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\) nên \(A\left( { - 3;\,0;\,0} \right);\,\,B\left( {0;\,2;\,0} \right);\,\,C\left( {0;\,0;\,4} \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) dạng mặt chắn là: \(\dfrac{x}{{ - 3}} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x - 6y - 3z + 12 = 0\).

Trong các mặt phẳng đã cho, mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(4x - 6y - 3z - 12 = 0\).

Chọn C.