Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;\,\,1} \right)\) và bán kính \({R_1} = 1.\)

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nên ta có: \({I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}.\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;\,\,1} \right)\) và bán kính \({R_1} = 1.\)

Vì điểm \(M \in d:\,\,\,x - y + 3 = 0 \Rightarrow M\left( {m;\,\,m + 3} \right).\)

\(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(M,\) có bán kính \({R_2} = 2{R_1} = 2\) và tiếp xúc ngoài với \(\left( C \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{I_1} = {R_1} + {R_2} = 1 + 2 = 3\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} + {\left( {1 - m - 3} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} + {\left( {m + 2} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m + 5 - 9 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {1;\,\,4} \right)\\M\left( { - 2;\,\,1} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn C.