Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1},\) bán kính \({R_1}\) tiếp xúc ngoài với đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2},\) bán kính \({R_2}\) \( \Rightarrow {I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}.\)

Lời giải chi tiết:

Để phương trình \(\left( {{C_2}} \right)\) là phương trình đường tròn thì: \({\left( {2m - 1} \right)^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} - m - 6 > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 + {m^2} - 4m + 4 - m - 6 > 0\\ \Leftrightarrow 5{m^2} - 9m - 1 > 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \frac{{9 + \sqrt {101} }}{{10}}\\m < \frac{{9 - \sqrt {101} }}{{10}}\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {{C_2}} \right)\) luôn là phương trình đường tròn với \(\left[ \begin{array}{l}m > \frac{{9 + \sqrt {101} }}{{10}}\\m < \frac{{9 - \sqrt {101} }}{{10}}\end{array} \right..\)

Ta có: \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {0;\,\,0} \right)\) và bán kính \({R_1} = 2.\)

\(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {2m - 1;\,\,m - 2} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2} - m - 6}  = \sqrt {5{m^2} - 9m - 1} .\)

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau \( \Leftrightarrow {I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}}  = 2 + \sqrt {5{m^2} - 9m - 1} \\ \Leftrightarrow \sqrt {5{m^2} - 8m + 5}  = 2 + \sqrt {5{m^2} - 9m - 1} \\ \Leftrightarrow 5{m^2} - 8m + 5 = 4 + 4\sqrt {5{m^2} - 9m - 1}  + 5{m^2} - 9m - 1\\ \Leftrightarrow m + 2 = 4\sqrt {5{m^2} - 9m - 1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ge 0\\{\left( {m + 2} \right)^2} = 16\left( {5{m^2} - 9m - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 2\\{m^2} + 4m + 4 = 80{m^2} - 144m - 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 2\\79{m^2} - 148m - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - \frac{{10}}{{79}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - \frac{{10}}{{79}}\end{array} \right.\end{array}\)

Đối chiếu với điều kiện chỉ có \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.