Phương pháp giải:

Ta có: \(\Delta //d:\,\,\,x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2} \right).\)

\( \Rightarrow \Delta :\,\,\,x - 2y + c = 0.\)

Xác định tâm \(I\) và tính bán kính \(R\) của  đường tròn \(\left( C \right)\) đã cho.

Khi đó ta có:\(d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = R.\) Từ đó tìm \(c\) và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta //d:\,\,\,x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2} \right).\)

\( \Rightarrow \Delta :\,\,\,x - 2y + c = 0.\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2 - 2.\left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2}} }} = 2\\ \Leftrightarrow \left| c \right| = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2\sqrt 5 \\c =  - 2\sqrt 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x - 2y + 2\sqrt 5  = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x - 2y - 2\sqrt 5  = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C.