Phương pháp giải:

Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến cần tìm. Khi đó \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;\,\,1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1; - 1} \right).\)

Gọi phương trình \(\Delta :\,\,\,x - y + c = 0.\)

Xác định tâm \(I\) và tính bán kính \(R\) của  đường tròn \(\left( C \right)\) đã cho.

Khi đó ta có:\(d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = R.\) Từ đó tìm \(c\) và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến cần tìm. Khi đó \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;\,\,1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1; - 1} \right).\)

Gọi phương trình \(\Delta :\,\,\,x - y + c = 0.\)

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + 6x + 6y + 16 = 0\) có tâm \(I\left( { - 3;\, - 3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 .\)

Ta có:\(d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 3 + 3 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| c \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2\\c =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x - y + 2 = 0\\{\Delta _2}:\,\,x - y - 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn D.