Phương pháp giải:

Xác định tâm \(I\) và tính bán kính \(R\) của  đường tròn đã cho.

Ta xét được \(A\left( {2;\, - 2} \right)\) không thuộc đường tròn đã cho.

Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn đã cho có hệ số góc \(k\) và đi qua \(A\left( {2; - 2} \right).\)

Khi đó: \(d:\,\,y = k\left( {x - 2} \right) - 2.\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R.\)

Giải phương trình ẩn \(k\) ở trên rồi viết phương trình đường thẳng \(d.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 18 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - 18}  = \sqrt 2 .\)

Thay tọa độ điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) vào phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) ta được:

\({2^2} + {2^2} - 4.2 + 8.\left( { - 2} \right) + 18 = 2 \ne 0 \Rightarrow A \notin \left( C \right).\)

Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn đã cho có hệ số góc \(k\) và đi qua \(A\left( {2; - 2} \right).\)

\( \Rightarrow d:\,\,\,y = k\left( {x - 2} \right) - 2 \Leftrightarrow kx - y - 2k - 2 = 0.\)

Khi đó ta có: \(d\left( {I;\,\,d} \right) = R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2k + 4 - 2k - 2} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 2 = \sqrt {2\left( {{k^2} + 1} \right)} \\ \Leftrightarrow 2 = {k^2} + 1\\ \Leftrightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1 \Rightarrow d:\,\,\,x - y - 4 = 0\\k =  - 1 \Rightarrow d:\,\,\,x + y = 0.\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn  A.