Phương pháp giải:

- Hàm số đạt cực trị tại \(x = {x_0} \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0\).

- Thay điểm \(\left( {1; - 3} \right)\); \(\left( {0;2} \right)\) vào hàm số.

- Giải hệ phương trình tìm \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\).

- Giải phương trình \(f\left( x \right) = 2\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\).

Hàm số đạt cực trị tại điểm \(x = 1\) nên \(3 + 2a + b = 0\).

\(f(1) =  - 3\,\, \Rightarrow \,\,1 + a + b + c =  - 3\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,a + b + c =  - 4\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tùng độ bằng 2 nên \(c = 0\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3 + 2a + b = 0\\a + b + c =  - 4\\c = 0\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 5\\c = 0\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 5x\).

\(\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 5x = 2}\\{ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}}\\{x = \dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 2\) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn D.