Phương pháp giải:

Thay lần lượt tọa độ điểm \(A\) vào từng phương trình đường tròn ở các đáp án rồi chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm \(A\left( {4; - 2} \right)\) vào từng phương trình đường tròn ta có:

Xét đáp án A: \({4^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 6.4 - 2.\left( { - 2} \right) + 9 = 0 \Leftrightarrow 9 = 0\)(vô lý)

Xét đáp án B: \({4^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + 2.4 - 20 = 0 \Leftrightarrow 8 = 0\) (vô lý)

Xét đáp án C: \({4^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 2.4 + 6.\left( { - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\) (đúng)                                       

Xét đáp án D:\({4^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 4.4 + 7.\left( { - 2} \right) - 8 = 0 \Leftrightarrow  - 18 = 0\) (vô lý)

Chọn C.