Phương pháp giải:

Phương trình \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)  là đường tròn nếu thỏa mãn các điều kiện:

+) Hệ số của \(\,{x^2},\,\,{y^2}\) bằng nhau.

+) \({a^2} + {b^2} - c > 0\)

Lời giải chi tiết:

Xét \(\left( C \right):\,\,\,\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + m\left( {m + 3} \right){y^2} + 2m\left( {m + 1} \right)x - m - 1 = 0,\)  ta có: \(a = 2m\left( {m + 1} \right);\,\,b = 0;\,\,c =  - m - 1.\)

Điều kiện để phương trình đường cong \(\left( C \right):\,\,\,\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + m\left( {m + 3} \right){y^2} + 2m\left( {m + 1} \right)x - m - 1 = 0\)    là đường tròn:

+) \({m^2} + 1 = m\left( {m + 3} \right) \Leftrightarrow {m^2} + 1 = {m^2} + 3m\)\( \Leftrightarrow 3m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\)

+) \({a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow 4{m^2}{\left( {m + 1} \right)^2} + m + 1 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Thay \(m = \frac{1}{3}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có: \(4.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}{\left( {\frac{1}{3} + 1} \right)^2} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{9} \cdot \frac{{16}}{9} + \frac{4}{3} > 0\) (thỏa mãn)

Vậy với \(m = \frac{1}{3}\)   phương trình đường cong \(\left( C \right):\,\,\,\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + m\left( {m + 3} \right){y^2} + 2m\left( {m + 1} \right)x - m - 1 = 0\)  là phương tình đường tròn.

Chọn  C.