Phương pháp giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn nếu thỏa mãn điều kiện:

+) Hệ số của \({x^2},\,\,{y^2}\) bằng nhau.

+) \({a^2} + {b^2} - c > 0\)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: \({x^2} + {y^2} + 2mx + 2\left( {m - 1} \right)y + 2{m^2} = 0\)  có \(a =  - m;\,\,\,\,b =  - m + 1;\,\,\,c = 2{m^2}.\)

Phương trình: \({x^2} + {y^2} + 2mx + 2\left( {m - 1} \right)y + 2{m^2} = 0\)  là phương trình đường tròn \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\)

\( \Rightarrow {\left( { - m} \right)^2} + {\left( { - m + 1} \right)^2} - 2{m^2} > 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + {m^2} - 2m + 1 - 2{m^2} > 0\)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + 1 - 2{m^2} > 0\)

\( \Leftrightarrow  - 2m + 1 > 0\)

\( \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\)

Chọn  A.