Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ trung điểm \(I\left( {{x_I};\,\,{y_I}} \right)\) của \(AB.\)

+) Tính độ dài đường kính \(AB\), bán kính \(\frac{{AB}}{2}.\)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - {x_I}} \right)^2} + {\left( {y - {y_I}} \right)^2} = {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {{x_I};\,\,{y_I}} \right)\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 5} \right)}}{2} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;\,\, - 3} \right)\)

\(A\left( {3;\,\, - 1} \right),\,\,B\left( {1;\,\, - 5} \right)\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {4 + 16}  = 2\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \)

Ta có: \(\left( C \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}I\left( {2;\,\, - 3} \right)\\R = IA = IB = \sqrt 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left( C \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 5\)

Chọn  D.