Phương pháp giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\).

Khi đó, đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 6 = 0\) ta có: \(a = \frac{{ - 6}}{{ - 2}} = 3;\,\,\,b = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1;\,\,c = 6\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {3^2} + 1 = 10 > c = 6 \Rightarrow \left( C \right)\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {3;\,\,1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + {1^2} - 6}  = 2.\)

Chọn  A.