Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

- Sử dụng hệ thức Vi-et.

- Sử dụng công thức trung điểm: \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \({x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\) .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} = x + 3m\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x - 3 = {x^2} + 3mx + x + 3m\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3mx + 3m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để \(\left( C \right)\)  và \(d\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 12m - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1} + {x_2} =  - 3m\)  (Định lí Vi-ét).

Trung điểm \(I\) của AB có hoành độ 3 nên: \(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 3\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3m}}{2} = 3 \Leftrightarrow m =  - 2\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Chọn B.